积分的加减乘除运算法则
2024-09-18 20:37:43 来源：盛楚鉫鉅网
積分是常數，是微積分學與數學分析裏的一箇核心概念，通常分爲定積分和不定積分兩種。積分中的加減運算法則指的是對兩個或多箇函數進行加減運算的規則。
積分的加減乘除運算法則
積分的加減乘除運算法則如下：
1、加法法則：包括兩個重要公式。第一個公式是積分求和公式，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。第二個公式是積分的線性性，即∫[a,b](αf(x)+βg(x))dx=α∫[a,b]f(x)dx+β∫[a,b]g(x)dx，其中α、β爲任意常數。
這意味着對於某一區間內的兩個函數，求它們的積分和時，可以將兩個函數的積分分別求出後再相加；當需要將某一區間內的函數乘以一箇常數後求積分時，可以將該常數分別乘以函數的積分後再相加。
2、減法法則：與加法法則基本相同，只是在第一個公式中多了一箇負號，即∫[a,b](f(x)-g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx-∫[a,b]g(x)dx。這個公式意味着當需要對某一區間內的兩個函數進行積分差時，可以將該區間內第二個函數的積分取相反數後再與第一個函數的積分相加。
3、乘法法則：用於求兩個函數的積的積分，其公式爲∫[a,b]f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)g(x)dx。這意味着當需要求某一區間內兩個函數乘積的積分時，可以將其中一箇函數的導數乘另一箇函數的原函數後再減去另一箇函數的導數乘第一個函數的原函數的積分。
4、除法法則：用於求兩個函數相除的積分，其公式爲∫[a,b]f(x)g'(x)dx=ln|g(x)|∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)ln|g(x)|dx。這意味着當需要求某一區間內兩個函數相除的積分時，可以將被除數的導數乘以除數的倒數後求積分，再減去除數的導數乘以被除數除以除數的積分的自然對數值。
積分加減乘除的關係
研究函數微分與積分的目的和意義
加減乘除都是針對數的運算，當面對更復雜的問題時，加減乘除就不夠用了，微分和積分是針對函數的運算。
加減乘除對函數也是有效的，但是僅僅是逐點計算的，不是整體的運算。
通過引入新的計算方式，即微分和積分，可以對函數在整體上進行運算從而得到一些新的函數，這就拓展了以前的加減乘除的運算。
高中積分乘除運算法則
定積分有分步積分，公式∫udv=uv-∫vdu
沒有什麼乘除法則
定積分沒有乘除法則，多數用換元積分法和分部積分法。
換元積分法就是對複合函數使用的：
設y=f(u)，u=g(x)
∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f(u)du
換元積分法有分第一換元積分法：設u=h(x)，du=h'(x)dx
和第二換元積分法：即用三角函數化簡，設x=sinθ、x=tanθ及x=secθ
還有將三角函數的積分化爲有理函數的積分的換元法：
設u=tan(x/2)，dx=2/(1+u2)du，sinx=2u/(1+u2)，cosx=(1-u2)/(1+u2)
分部積分法多數對有乘積關係的函數使用的：
∫uv'dx
=∫udv
=uv-∫vdu
=uv-∫vu'du
其中函數v比函數u簡單，籍此簡化u。是由導數的乘法則(uv)'=uv'+vu'推導過來的。
有時候v'=1的，例如求∫lnxdx、∫ln(1+x)dx等等。
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